已知a为实常数，函数f（x）=lnx-ax+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：1e＜x1＜1，且x1+x2

Question

已知a为实常数，函数f（x）=lnx-ax+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
   （ⅰ）求实数a的取值范围；
   （ⅱ）求证：(1)/(e)＜x₁＜1，且x₁+x₂＞2．（注：e为自然对数的底数）

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=(1)/(x)-a．
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（0，(1)/(a)）上，f'（x）＞0；在区间（(1)/(a)，+∞）上，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，(1)/(a)）是增函数，在（(1)/(a)，+∞）是减函数．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，
当a＞0时，f（x）在（0，(1)/(a)）上是增函数，在（(1)/(a)，+∞）上是减函数，此时f（(1)/(a)）为函数f（x）的最大值，
当f（(1)/(a)）≤0时，f（x）最多有一个零点，∴f（(1)/(a)）=ln(1)/(a)＞0，解得0＜a＜1，
此时，(1)/(e)＜(1)/(a)＜(e2)/(a2)，且f（(1)/(e)）=-1-(a)/(e)+1=-(a)/(e)＜0，
f（(e2)/(a2)）=2-2lna-(e2)/(a)+1=3-2lna-(e2)/(a)（0＜a＜1），
令F（a）=3-2lna-(e2)/(a)，则F'（x）=-(2)/(a)+(e2)/(a2)=(e2−2a)/(a2)＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，
∴F（a）＜F（1）=3-e²＜0，即f（(e2)/(a2)）＜0，
∴a的取值范围是（0，1）．
（ii）由（Ⅱ）（i）可知函数f（x）在（0，(1)/(a)）是增函数，在（(1)/(a)，+∞）是减函数．f（x）=lnx-ax+1，
∴f（(1)/(e)）=-1-(a)/(e)+1=-(a)/(e)＜0，f（1）=1-a＞0．故(1)/(e)＜x1＜1；
第二部分：分析：∵0＜x1＜(1)/(a)，∴(2)/(a)−x1＞(1)/(a)．只要证明：f（(2)/(a)−x1）＞0就可以得出结论．
下面给出证明：构造函数：g（x）=f（(2)/(a)-x）-f（x）=ln（(2)/(a)-x）-a（(2)/(a)-x）-（lnx-ax）（0＜x≤(1)/(a)），
则g'（x）=(1)/(x−(2)/(a))−(1)/(x)+2a=(2a(x−(1)/(a))2)/(x(x−(2)/(a)))＜0，
函数g（x）在区间（0，(1)/(a)]上为减函数．0＜x₁＜(1)/(a)，则g（x₁）＞g（(1)/(a)）=0，又f（x₁）=0，
于是f（(2)/(a)−x1）=ln（(2)/(a)−x1）-a（(2)/(a)−x1）+1-f（x₁）=g（x₁）＞0．又f（x₂）=0，
由（1）可知x2＞(2)/(a)−x1，即x1+x2＞(2)/(a)＞2．