设a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）求函数f（x）的最小值．

Question

设a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）∵函数f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，
也就是（x+a）²=（x-a）²对任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．
（2）①当x≤a时，f(x)＝x2−x+(1+a)＝(x−(1)/(2))2+((3)/(4)+a)．
若a≤(1)/(2)，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1．
若a＞(1)/(2)，则函数f（x）在(−∞，(1)/(2)]上单调递减，在((1)/(2)，a]上单调递增．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f((1)/(2))＝(3)/(4)+a．
②当x＞a时，f(x)＝x2+x+(1−a)＝(x+(1)/(2))2+((3)/(4)−a)．
若a≤−(1)/(2)，则函数f（x）在[a，−(1)/(2)]上单调递减，在(−(1)/(2)，+∞)单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f(−(1)/(2))＝(3)/(4)−a．
若a＞−(1)/(2)，则函数f（x）在[a，+∞）单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上所述，可得
当a≤−(1)/(2)时，函数f（x）的最小值是(3)/(4)−a；当−(1)/(2)＜a≤(1)/(2)时，函数f（x）的最小值是a²+1；
当a＞(1)/(2)时，函数f（x）的最小值是(3)/(4)+a．