线性代数1.设α1,α2,…,αs的秩为r且其中每个向量都可以由α1,α2,…αr线性表示,证明：α1,α2…,αr为α1,α2,…,αs的一个极大无关组!2.设A,B都是n阶矩阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)≤n.3.设A为n阶矩阵,且A²

Question

线性代数
1.设α1,α2,…,αs的秩为r且其中每个向量都可以由α1,α2,…αr线性表示,证明：α1,α2…,αr为α1,α2,…,αs的一个极大无关组!
2.设A,B都是n阶矩阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)≤n.
3.设A为n阶矩阵,且A²=A,证明：R(A)+R(A-E)=n.

Answer 1

1、只要证明了α1,α2…,αr线性无关即可.
由已知条件,向量组α1,α2,…,αs与向量组α1,α2,…αr等价,所以等秩,所以α1,α2,…,αr的秩是r,所以α1,α2,…αr线性无关.
所以α1,α2…,αr为α1,α2,…,αs的一个极大无关组.
2、设B=(b1,b2,...,bn),则AB=A(b1,b2,...,bn)=(Ab1,Ab2,...,Abn)=0,所以Abi=0(i=1,2,...,n),所以向量组b1,b2,...,bn可以由Ax=0的一组基础解系a1,a2,...,as线性表示,其中s=n-R(A).所以向量组b1,b2,...bn的秩R(B)≤n-R(A),所以R(A)+R(B)≤n.
3、首先,A²-A=A(A-E)=0,由第二题得R(A)+R(A-E)≤n.
其次,R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n.
所以,R(A)+R(A-E)=n.