（2011•徐汇区三模）已知函数f（x）=|x|•（a-x），a∈R．（1）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；（2）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值

Question

（2011•徐汇区三模）已知函数f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（1）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（3）若不等式|x|•（a-x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a=4时，f(x)＝

−x2+4x  (x≥0)

x2−4x   (x＜0)

，
f（x）的图象如图所示，
所以其单调递增区间为[0，2]．
（2）x∈[0，2]时，f(x)＝x(a−x)＝−x2+ax＝−(x−(a)/(2))2+(a2)/(4)
∴f（x）在（-∞，(a)/(2)）上单调递增，在[(a)/(2)，+∞）上单调递减．
又函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，所以(a)/(2)≤0．
解得a≤0．
（3）当x=0时，0≤6成立，所以a∈R；
当0＜x≤2时，a−x≤(6)/(x)，
即a≤x+(6)/(x)，只要a≤(x+(6)/(x))min
设g(x)＝x+(6)/(x)，则g′（x）=1-(6)/(x2)，∴g（x）在(0，√(6)]上递减，在[ √(6)， +∞)上递增，
∴当0＜x≤2时，g（x）_min=g（2）=5．
所以a≤5．
综上，|x|（a-x）≤6对x∈[0，2]恒成立的实数a的取值范围是（-∞，5]．