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(2014•威海一模)已知a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则mn的最大值为()A.8B.4C.2D.1
题目详情
(2014•威海一模)已知a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则mn的最大值为( )
A.8
B.4
C.2
D.1
A.8
B.4
C.2
D.1
▼优质解答
答案和解析
∵a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,
∴函数y=ax的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为m,
函数y=logax的图象和直线4-x的交点的横坐标为n.
再根据函数y=ax和y=logax互为反函数,可得点(m,4-m)与点 (n,4-n)关于直线y=x对称,
∴
=
,可得 m+n=4≥2
,
∴mn≤4,当且仅当m=n=2时,等号成立,
故mn的最大值为4,
故选:B.
∴函数y=ax的图象和直线y=4-x的交点的横坐标为m,
函数y=logax的图象和直线4-x的交点的横坐标为n.
再根据函数y=ax和y=logax互为反函数,可得点(m,4-m)与点 (n,4-n)关于直线y=x对称,
∴
m+n |
2 |
4−m+4−n |
2 |
mn |
∴mn≤4,当且仅当m=n=2时,等号成立,
故mn的最大值为4,
故选:B.
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