（2014•宁德模拟）已知函数f（x）=ax2-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）-x2+m（x-1）的最小值为0，若存在

Question

（2014•宁德模拟）已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）-x²+m（x-1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若0＜x₁＜x₂，求证：(x2−x1)/(lnx2−lnx1)＜2x₂．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=ax²-blnx，得：
 f′(x)＝2ax−(b)/(x)，(x＞0)，
∵函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，
∴

f(1)＝a＝1

f′(1)＝2a−b＝0

，解得a=1，b=2；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x²-2lnx，
∴g（x）=f（x）-x²+m（x-1）=m（x-1）-2lnx，x∈（0，1]，
∴g′(x)＝m−(2)/(x)＝(mx−2)/(x)，
①当m≤0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0．
②当0＜m≤2时，g′(x)＝(m(x−(2)/(m)))/(x)≤0，
∴g（x）在（0，1]上单调递减，
∴g（x）_min=g（1）=0．
③当m＞2时，g′（x）＜0在(0，(2)/(m))上恒成立，g′（x）＞0在((2)/(m)，1]上恒成立，
∴g（x）在(0，(2)/(m))上单调递减，在((2)/(m)，1]上单调递增．
∴g((2)/(m))＜g(1)＝0，
∴g（x）_min≠0．
综上所述，存在m满足题意，其范围为（-∞，2]；
（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x-1-2lnx在（0，1）上单调递减，
∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，
即x-1＞2lnx．
∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜(x1)/(x2)＜1，
∴(x1)/(x2)−1＞2ln(x1)/(x2)，
∴(x1−x2)/(x2)＞2(lnx1−lnx2)，
∵lnx₂＞lnx₁，
∴