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已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为二次函数,且满足f(x)的最小值f(3)=-4,且f(1)=0(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)作出f(x)的图象,并根据图象指出关于x
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已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)为二次函数,且满足f(x)的最小值 f(3)=-4,且f(1)=0
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)作出f(x)的图象,并根据图象指出关于x的方程f(x)-c=0(c∈R)根的个数 分别为3个,4个时,c的值或范围.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)作出f(x)的图象,并根据图象指出关于x的方程f(x)-c=0(c∈R)根的个数 分别为3个,4个时,c的值或范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)当x>0时,f(x)为二次函数,且满足f(x)的最小值 f(3)=-4,且f(1)=0
∴设f(x)=a(x-1)(x-5),
则函数过(3,-4),
即-4a=-4,
∴a=1,
∴x>0时,f(x)=(x-1)(x-5)=x2-6x+5,
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=x2+6x+5
∵f(x)是奇函数,
f(-x)=-f(x),即f(-x)=x2+6x+5=-f(x),
∴f(x)=-x2-6x-5,x<0,
又f(0)=0,
∴f(x)=
.
(2)作出函数f(x)的图象如图:
∴f(x)=c的根的个数
①3个根:c=4或c=-4
②4个根:-4<c<4且c≠0.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532753479-3316.jpg)
∴设f(x)=a(x-1)(x-5),
则函数过(3,-4),
即-4a=-4,
∴a=1,
∴x>0时,f(x)=(x-1)(x-5)=x2-6x+5,
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=x2+6x+5
∵f(x)是奇函数,
f(-x)=-f(x),即f(-x)=x2+6x+5=-f(x),
∴f(x)=-x2-6x-5,x<0,
又f(0)=0,
∴f(x)=
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(2)作出函数f(x)的图象如图:
∴f(x)=c的根的个数
①3个根:c=4或c=-4
②4个根:-4<c<4且c≠0.
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