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若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为.
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若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为______.
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)在R上是奇函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,
由f(2)=0,得f(-2)=-f(2)=0,
即f(-2)=0,
由f(-0)=-f(0),得f(0)=0,
作出f(x)的草图,如图所示:
由图象,得xf(x)<0⇔
或
,
解得0<x<2或-2<x<0,
∴xf(x)<0的解集为:(-2,0)∪(0,2),
故答案为:(-2,0)∪(0,2)
∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,
由f(2)=0,得f(-2)=-f(2)=0,
即f(-2)=0,
由f(-0)=-f(0),得f(0)=0,
作出f(x)的草图,如图所示:
由图象,得xf(x)<0⇔
|
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解得0<x<2或-2<x<0,
∴xf(x)<0的解集为:(-2,0)∪(0,2),
故答案为:(-2,0)∪(0,2)
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