（2014•临沂二模）已知函数f（x）=ex+ax-1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数F（x）=xlnx-f（x）在定义域内存在零点，求a的最大值．（Ⅲ）若g（x）=ln（ex-1）-lnx，当x∈（

Question

（2014•临沂二模）已知函数f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=xlnx-f（x）在定义域内存在零点，求a的最大值．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求a的取随范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=e^x+a所以，
（1）若a≥0，则f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）若a＜0，令e^x+a=0，得x=ln（-a），当x＜ln（-a）时，f′（x）＜0；当x＞ln（-a）时，f′（x）＞0，所以：
f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增；
综上得：当a≥0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＜0时，函数f（x）在（-∞，ln（-a））上单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增．
（Ⅱ）由题意知：在（0，+∞）上存在x使F（x）=xlnx-f（x）=xlnx-e^x-ax+1并得到a=(1−ex)/(x)+lnx；
所以函数(1−ex)/(x)+lnx的最大值，就是a的最大值，则令h（x）=(1−ex)/(x)+lnx，h′（x）=（1-x）（e^x-1）；
所以，x∈（0，1）上h′（x）＞0，x∈（1，+∞） h′（x）＜0，所以h（x）≤h（1）=1＞-e，即h（x）最大值是1-e，所以a的最大值是1-e．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=-1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；
∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e^x-1＞x；
故对任意x＞0，g（x）=ln（e^x-1）-lnx＞0；
所以，要证∀x＞0，g（x）＜x；
只需证：∀x＞0，ln（e^x-1）-lnx＜x；
即证：ln（e^x-1）＜lnx+lne^x；
即证：∀x＞0xe^x＞e^x-1；
所以，只要证：∀x＞0xe^x-e^x+1＞0；
令H（x）=xe^x-e^x+1，则H′（x）=xe^x＞0；
故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴H（x）＞H（0）=0；
∴对∀x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，即g（x）＜x；
（1）当a≥0时，由（Ⅰ）f（x）在（0，+∞）上单调递增；
则f（g（x））＜f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（2）当a＜0时，由（Ⅰ）知f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，要使f（x）在（0，+∞）上单调递增，须ln（-a）≤0，得-1≤a＜0；
故a的取值范围是[-1，+∞）．