定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：①f（x）是周期函数；②f（x）图象关于x=1对称；③f（x）在[0，1]上是

Question

定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：
①f（x）是周期函数；
②f（x）图象关于x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；
⑤f（2）=f（0），
正确命题的个数是（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

Answer 1

因为义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），式子中的x 都被x+1代替可得：f（x+2）=-f（x+1）=f（x），利用函数周期的定义可知：该函数有周期T=2，又且f（x）在[-1，0]上是增函数，偶函数在对称区间上单调性相反，利用条件可以画一草图分析如下：

由题意及图形可知①⑤正确；②正确；③错误；④错误；
故选C