设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）-1（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求g（x）在[-1，2]上的最大值；（Ⅲ）当a＝2时，g（x）≤t2-2mt+1对所有的x∈[-1，1]及m∈

Question

设函数f（x）=kx²+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a^f（x）-1（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g（x）在[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）当a＝√(2)时，g（x）≤t²-2mt+1对所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（-x）=-f（x）得 kx²-2x=-kx²-2x，
∴k=0．（2分）
（Ⅱ）∵g（x）=a^f（x）-1=a^2x-1=（a²）^x-1（13分）
①当a²＞1，即a＞1时，g（x）=（a²）^x-1在[-1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a⁴-1．（5分）
②当a²＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a²）^x在[-1，2]上为减函数，
∴g（x）最大值为g(−1)＝(1)/(a2)−1．（7分）
∴g(x)max＝

a4−1 ，  a＞1

(1)/(a2)−1 ， 0＜a＜1

（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[-1，1]上的最大值为g(1)＝(√(2))2−1＝1，
∴1≤t²-2mt+1即t²-2mt≥0在[-1，1]上恒成立（10分）
令h（m）=-2mt+t²，∴

h(−1)＝t2+2t≥0

h(1)＝t2−2t≥0

即

t≤−2或t≥0

t≤0或t≥2.

所以t∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．（14分）