已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=π2时，求k的值．（2）若k＝12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否

Question

已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=(π)/(2)时，求k的值．
（2）若k＝(1)/(2)，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；
（3）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，(√(2))/(2)），求四边形EGFH的面积的最大值．

Answer 1

（1）∵∠AOB=(π)/(2)，∴点O到l的距离d＝(√(2))/(2)r…（2分）
∴(2)/(√(k2+1))=(√(2))/(2)•√(2)，
∴k＝±√(3)…（4分）
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P(t，(1)/(2)t−2)，其方程为：x(x−t)+y(y−(1)/(2)t+2)＝0，
即x2−tx+y2−((1)/(2)t−2)y＝0，
又C、D在圆O：x²+y²=2上
∴lCD：tx+((1)/(2)t−2)y−2＝0，
即(x+(y)/(2))t−2y−2＝0…（7分）
由

x+(y)/(2)＝0

2y+2＝0

，得

x＝(1)/(2)

y＝−1

，
∴直线CD过定点((1)/(2)，−1)…（9分）
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．
则d12+d22＝|OM|2＝(3)/(2)…（11分）
∴|EF|＝2√(r2−d21)＝2√(12−d21)，|GH|＝2√(r2−d22)＝2√(2−d22)
∴S＝(1)/(2)|EF||GH|＝2√((2−d21)(2−d22))≤2−

d

2 1

+2−

d

2 2

＝4−(3)/(2)＝(5)/(2)
当且仅当2−

d

2 1

＝2−

d

2 2

即 d1＝d2＝(√(3))/(2)时，取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为(5)/(2)．…（14分）