圆的直径式方程推理圆的直径式方程,如何推理?

Question

圆的直径式方程 推理
圆的直径式方程 ,如何推理?

Answer 1

圆的直径式方程,若圆直径两端点为A(a,b),B(c,d),则圆方程为（x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0
这可以用向量证明.
假设P(x,y)是圆上一点,那么向量[(x-a),(y-b)]表示A到P的向量,[(x-c),(y-d)]表示B到P的向量.
因为AB是直径,所以对于圆上的任意非A,B点,∠APB=90°
所以有两向量内积为0,即(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0
当P为A或B点时,有两向量之一为0向量,因为0向量与任意向量垂直,所以上式仍成立,所以所有的圆上的点都在(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0内.
又因为由平面几何知识知道所有满足向量[(x-a),(y-b)]垂直向量[(x-c),(y-d)]的点都在圆上,所以(x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0就是该圆的方程.