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设f(X)是定义在R上的函数,求证f(x)总可以写成一个奇函数与一个偶函数的形式
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设f(X)是定义在R上的函数,求证f(x)总可以写成一个奇函数与一个偶函数的形式
▼优质解答
答案和解析
证明：对任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)
所以对于任意定义域关于原点对称的函数f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)
所以对于任意定义域关于原点对称的函数f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和
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