求证：偶函数在原点泰勒展开的奇次项系数为零

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只需要证明偶函数在0点的2k阶导数是0
需要下面三个结论：
偶函数的导数是奇函数,
奇函数的导数是偶函数
偶函数在0点的导数为0
现在只需要证明f(x)的2k阶导数是偶函数就
行了.
用数学归纳法.
k=0时,f(x)零阶导=f(x)显然成立
设k=n时,f(x)的2n阶导是偶函数
那么k=n+1时,f(x)的2n+2阶导是f(x)2n阶导的2阶导.
由于f(x)的2n阶导是偶函数,所以这的一阶导是奇函数.
所以f(x)的2n阶导的2阶导是偶函数.
所以也成立.
证毕

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