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若x1,x2服从标准正态分布,x1+x2与x1-x2是否相互独立
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若x1,x2服从标准正态分布,x1+x2与x1-x2是否相互独立
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答案和解析
Cov(X1+X2,X1-X2)
= Var(X1)-Cov(X1,X2)+Cov(X1,X2)-Var(X2)
= Var(X1)-Var(X2)
= 0
所以X1+X2和X1-X2不相关.
如果(X1,X2)的联合分布是二维正态分布,那么有X1+X2和X1-X2都是正态分布,从而可以由X1+X2和X1-X2不相关推出X1+X2和X1-X2独立.
注：只要(X1,X2)的联合分布是二维正态分布即可,不需要X1和X2独立这么强的条件.
= Var(X1)-Cov(X1,X2)+Cov(X1,X2)-Var(X2)
= Var(X1)-Var(X2)
= 0
所以X1+X2和X1-X2不相关.
如果(X1,X2)的联合分布是二维正态分布,那么有X1+X2和X1-X2都是正态分布,从而可以由X1+X2和X1-X2不相关推出X1+X2和X1-X2独立.
注：只要(X1,X2)的联合分布是二维正态分布即可,不需要X1和X2独立这么强的条件.
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