浙大概论第四版,n维正态随机变量的四条重要性质,其中的第一条能解释下吗?从例题知道,两个独立正态分布X.Y相加是个一维随机变量.但如果X.Y是正态,但不独立,则不一定有X+Y是正态.且(X,Y)也

Question

浙大概论第四版,n维正态随机变量的四条重要性质,其中的第一条能解释下吗?
从例题知道,两个独立正态分布X.Y相加是个一维随机变量.
但如果X.Y是正态,但不独立,则不一定有X+Y是正态.且(X,Y)也不一定服从正态.
书上的定理是:n维随机变量(X1,X2,..,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,.,Xn的任意线性组合服从一维正态分布.
我的疑问是:1.定理中的X1,X2,...,Xn需要独立吗?换句话说不独立的n个正态随机变量的线性组合是否也服从一维正态分布?如果也服从以为正态分布,那和独立的n个随机变量相加有什么区别.
2.n个相互独立的正态随机变量,(X1,X2,.,Xn)是否也是正态呢?

Answer 1

这个定理中的x1-xn是不需要独立的.

从二维上看.

因为二维正态分布是这样的,

很明显,相关系数ρ≠0,那么x, y是不独立的.

根据你那个定理,x+y应该也是服从正态分布的.

书上说,如果x, y独立,那么x+y~N(u1+u2, Δ1^2+Δ2^2)

我觉得x+y就算不独立,也服从一维正态分布,但是他的期望和方差应该不是u1+u2和Δ1^2+Δ2^2.

而是有另外的方式.