设总体X的期望EX，方差DX均存在，X1，X2是X的一个样本．（1）证明：f1（X1，X2）=18X1+78X2和f2（X1，X2）=35X1+25X2都是EX的无偏估计量；（2）说明哪一个较为有效？

Question

设总体X的期望EX，方差DX均存在，X₁，X₂是X的一个样本．
（1）证明：f₁（X₁，X₂）=(1)/(8)X₁+(7)/(8)X₂和f₂（X₁，X₂）=(3)/(5)X₁+(2)/(5)X₂都是EX的无偏估计量；
（2）说明哪一个较为有效？

Answer 1

（1）证明：因为X₁，X₂是X的样本，故独立，同分布
∴E[f1(X1，X2)]＝E((1)/(8)X1+(7)/(8)X2)＝(1)/(8)E(X1)+(7)/(8)E(X2)＝E(X)
E[f2(X1，X2)]＝E((3)/(5)X1+(2)/(5)X2)＝(3)/(5)E(X1)+(2)/(5)E(X2)＝E(X)
∴f₁，f₂均是E（X）的无偏估计．
（2）∵D[f1(X1，X2)]＝D((1)/(8)X1+(7)/(8)X2)＝(1)/(64)D(X1)+(49)/(64)D(X2)＝(50)/(64)D(X)
D[f2(X1，X2)]＝D((3)/(5)X1+(2)/(5)X2)＝(9)/(25)D(X1)+(4)/(25)D(X2)＝(13)/(25)D(X)
∴D[f₁（X₁，X₂）]＞D[f₂（X₁，X₂）]，
故f₂（X₁，X₂）更有效．