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设总体X的期望EX,方差DX均存在,X1,X2是X的一个样本.(1)证明:f1(X1,X2)=18X1+78X2和f2(X1,X2)=35X1+25X2都是EX的无偏估计量;(2)说明哪一个较为有效?
题目详情
设总体X的期望EX,方差DX均存在,X1,X2是X的一个样本.
(1)证明:f1(X1,X2)=
X1+
X2和f2(X1,X2)=
X1+
X2都是EX的无偏估计量;
(2)说明哪一个较为有效?
(1)证明:f1(X1,X2)=
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(2)说明哪一个较为有效?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:因为X1,X2是X的样本,故独立,同分布
∴E[f1(X1,X2)]=E(
X1+
X2)=
E(X1)+
E(X2)=E(X)
E[f2(X1,X2)]=E(
X1+
X2)=
E(X1)+
E(X2)=E(X)
∴f1,f2均是E(X)的无偏估计.
(2)∵D[f1(X1,X2)]=D(
X1+
X2)=
D(X1)+
D(X2)=
D(X)
D[f2(X1,X2)]=D(
X1+
X2)=
D(X1)+
D(X2)=
D(X)
∴D[f1(X1,X2)]>D[f2(X1,X2)],
故f2(X1,X2)更有效.
∴E[f1(X1,X2)]=E(
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E[f2(X1,X2)]=E(
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∴f1,f2均是E(X)的无偏估计.
(2)∵D[f1(X1,X2)]=D(
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D[f2(X1,X2)]=D(
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∴D[f1(X1,X2)]>D[f2(X1,X2)],
故f2(X1,X2)更有效.
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