f(x)和f(X-2)是否为同一函数,若不是,为什么可以将x的定义域施用在x-2上?

Question

f(x)和f(X-2)是否为同一函数,若不是,为什么可以将x的定义域施用在x-2上?

Answer 1

呃,这个讲法在高中是有些省略的.
先讲集合,如果x对应的集合是全体实数,那么x-2对应的集合也是全体实数（设t=x-2）.
因为：
对于每个x,都可以找到并且只能找到一个t和其对应.（满单射）
对于每个t,也都可以找到并且只能找到一个x和其对应.（满单射）
因而x和t是一一对应（双射）.
因而x和x-2在x属于有理数,实数或整数域时可以本质上视为同一函数（只是本质上）,f(x-2)只是把f(x)的函数图像向右移动了2个单位.
但是当x和t属于自然数或者正整数域时,对于每个x,不一定能找到一个t=x-2（例如x=1）,对于每个t,倒是能找到一个唯一对应的x,这样f(t)=f(x-2)中的x,只能是f(x)中x的子集.
不能将x的定义域直接施用在x-2上.
总结一下就是：
设t=x-2,则这是一个函数.
整个问题就是,t=x-2的值域,是否和x的定义域一样.如果是,就能套用,如果不是,就不行.
（这种东西,是一种数学结构,叫做群,实际是一种对称）.
当x是实数,整数,有理数时,t=x-2的值域和定义域是一样的.因为他们都是减法群,对于减法是封闭的.
但当x是正整数,正实数,正有理数,自然数什么的时候,他们对于减法运算不是封闭的.