已知数列{an｝的前n项和为Sn,a1＝－2／3,满足Sn＋1／Sn＋2＝an（n＞＝2）求Sn.（不要用数学归纳法）数学归纳法已明白,这好像是一种反推的思想,但是正推我为什么就是转不过来呢,求大神可以用

Question

已知数列{an｝的前n项和为Sn,a1＝－2／3,满足Sn＋1／Sn＋2＝an（n＞＝2）求Sn.（不要用数学归纳法）
数学归纳法已明白,这好像是一种反推的思想,但是正推我为什么就是转不过来呢,求大神可以用正面的思想推理一下.

Answer 1

参照例4
Sn＋（1／Sn）＋2＝an
移项得到
（1／Sn）＋2=-S(n-1)
整理后Sn=-1/[S(n-1)+2]
这种情况下,要用到特征根求数列通项的办法,
上面式子的特征方程是x=-1/(x+2)
解得x=-1
那么可得Tn=1/[(1/sn)+1]是等差数列.
求出S2,S1带入后算出公差d=-1.
所以
Tn=1/[(1/sn)+1]=1/[(1/s1)+1]+(-1)(n-1)
解得sn=-(n+1)/(n+2)