数学归纳题:已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式：a1*(1/a1)≥1,(a1+a2)*(1/a1+1/a2)≥4,(a1+a2+a3)*(1/a1+1/a2+1/a3)≥9.(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1,a2,…,An的不等式.(2)用数学归纳法证明你归纳

Question

数学归纳题:
已知对于任意正数a1,a2,a3,有不等式：a1*(1/a1)≥1,(a1+a2)*(1/a1+1/a2)≥4,(a1+a2+a3)*(1/a1+1/a2+1/a3)≥9.
(1)从上述不等式归纳出一个适合任意正数a1,a2,…,An的不等式.
(2)用数学归纳法证明你归纳得到的不等式.

Answer 1

（2）数学归纳法：n=k=1,a1*(1/a1)≥1成立
假设n=k>=2时,有（a1+a2+...+ak)(1/a1+1/a2+...1/ak)≥k^2成立,当n=k+1时,（a1+a2+...+ak+a(k+1))(1/a1+1/a2+...1/a(k+1))≥（a1+a2+...+ak)(1/a1+1/a2+...1/ak)+(a1+a2+...+ak)*1/a(k+1)+（1/a2+...1/ak）*a(k+1)+1≥k^2+1+2k=(k+1)^2
其中（a1+a2+...+ak)*1/a(k+1)+（1/a2+...1/ak）*a(k+1）两两一组,拆成k项,利用均值不等式