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据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦

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据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,小明发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,
当勾=3时,股4=
1
2
(9-1),弦5=
1
2
(9+1);
当勾=5时,股12=
1
2
(25-1),弦13=
1
2
(25+1);
------
请你根据小明发现的规律用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股
1
2
(n2-1)
1
2
(n2-1)
、弦
1
2
(n2+1)
1
2
(n2+1)
,并猜想他们之间的相等关系(写二种)并对其中一种猜想加以证明;
(2)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.请你直接用m(m为偶数且m≥4)的代数式来表示他们的股和弦.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵
1
2
(9-1)=4,
1
2
(9+1)=5;
1
2
(25-1)=12,
1
2
(25+1)=13;
∴7,24,25的股的算式为
1
2
(49-1)=
1
2
(72-1)
弦的算式为
1
2
(49+1)=
1
2
(72+1);
当n为奇数且n≥3,勾、股、弦的代数式分别为:n,
1
2
(n2-1),
1
2
(n2+1).
例如关系式①:弦-股=1;关系式②:勾2+股2=弦2
证明关系式①:弦-股=
1
2
(n2+1)-
1
2
(n2-1)=
1
2
[(n2+1)-(n2-1)]=1
或证明关系式②:勾2+股2=n2+[
1
2
(n2-1)]2=
1
4
n4+
1
2
n2+
1
4
=
1
4
(n2+1)2=弦2∴猜想得证;

(2)例如探索得,当m为偶数且m>4时,股、弦的代数式分别为:(
m
2
)2−1,(
m
2
)2+1.
另加分问题,
例如:连接两组勾股数中,上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股.
即上一组为:n,
1
2
(n2-1),-
1
2
(n2+1)(n为奇数且n≥3),
分别记为:A1、B1、C1
下一组为:n+2,
1
2
[(n+2)2-1],
1
2
[(n+2)2+1](n为奇数且n≥3),
分别记为:A2、B2、C2
则:A1+B1+A2=n+
1
2
(n2-1)+(n+2)=
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