已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，
可得f′（x）=（x-1）e^x+2a（x-1）=（x-1）（e^x+2a），
①当a≥0时，由f′（x）>0，可得x>1；由f′（x）<0，可得x<1，
即有f（x）在（-∞，1）递减；在（1，+∞）递增；
②当a<0时，若a=-(e)/(2)，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；
若a<-(e)/(2)时，由f′（x）>0，可得x<1或x>ln（-2a）；
由f′（x）<0，可得1<x<ln（-2a）．
即有f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）递增；
在（1，ln（-2a））递减；
若-(e)/(2)<a<0，由f′（x）>0，可得x<ln（-2a）或x>1；
由f′（x）<0，可得ln（-2a）<x<1．
即有f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）递增；
在（ln（-2a），1）递减；
（Ⅱ）
①由（Ⅰ）可得当a>0时，f（x）在（-∞，1）递减；在（1，+∞）递增，
 且f（1）=-e<0，x→+∞，f（x）→+∞；x→-∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；
②当a=0时，f（x）=（x-2）e^x，所以f（x）只有一个零点x=2；
③当a<0时，
若a<-(e)/(2)时，f（x）在（1，ln（-2a））递减，在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）递增，
又当x≤1时，f（x）<0，所以f（x）不存在两个零点；
当a≥-(e)/(2)时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）<0，所以f（x）不存在两个零点．
综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．