设P是实数得关于X^2-3PX-P=0有两个不同实数根X1,X2.(1)证明:3PX1+X2^2-P>0.(2)求U=(P^2/(3PX1+X2^2+3P))+((3PX2+X1^2+3P)/P^2)的最小值

Question

设P是实数 得关于X^2-3PX-P=0有两个不同实数根X1,X2 .(1)证明:3PX1+X2^2-P>0.
(2)求U=(P^2/(3PX1+X2^2+3P))+((3PX2+X1^2+3P)/P^2)的最小值

Answer 1

易知X1+X2=3P,X1*X2=-P
3PX1+X2^2-P
=（X1+X2）X1+X2^2+X1*X2
=(X1+X2)^2
=9P^2
因为X1不等于X2,所以P不等于0
所以3PX1+X2^2-P>0
3PX1+X2^2+3P=(X1+X2)X1+X2^2-3X1X2=X1^2+X2^2-2X1X2=(X1-X2)^2
3PX2+X1^2+3P=(X1+X2)X2+X1^2-3X1X2=X1^2+X2^2-2X1X2=(X1-X2)^2
U=P^2/(X1-X2)^2+(X1-X2)^2/P^2最小为2