（2013•和平区一模）如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E为PB的中点，AC=AD=BC=1，PC=2．（I）求证：DE∥平面ABC：（II）求证：PD⊥平面BCD；（III）设Q为PB上一点，PQ=λPB，试确定λ的值使得二

Question

（2013•和平区一模）如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E为PB的中点，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求证：DE∥平面ABC：
（II）求证：PD⊥平面BCD；
（III）设Q为PB上一点，

PQ

=λ

PB

，试确定λ的值使得二面角Q-CD-B为45°．

Answer 1

（I）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），E(0，(1)/(2)，1)，

DE

＝(−1，(1)/(2)，0)．
可知

PC

＝(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，
∵

DE

•

PC

＝0，∴

DE

⊥

PC

．
∵DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（II）证明：∵

PD

＝(1，0，−1)，

BC

=（0，1，0），

CD

=（1，0，1）．
∴

PD

•

BC

=0，

PD

•

CD

＝0．
∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，
∴PD⊥平面BCD．
（III）由（II）可知：

PD

=（1，0，-1）为平面BCD的法向量，
∵

PB

＝(0，1，−2)，

PQ

＝λ

PB

＝(0，λ，−2λ)，λ∈（0，1）．
∴Q（0，λ，-2λ+2）．
设平面QCD的法向量为

n

＝(x，y，z)，由

n

•

CD

＝0

n

•

CQ

＝0

，得

x+z＝0

λy+(−2λ+2)z＝0

，
令z=1，则x=-1，y＝(2)/(λ)−2，∴

n

＝(−1，(2)/(λ)−2，1)，λ∈（0，1）．
∴cos45°=(|n•PD|)/(|n| |PD|)=(2)/(√(2)×√(2+((2)/(λ)−2)2))=(√(2))/(2)，
解得λ＝2−√(2)．