六个平面x+y+z=±1,-x+2y+3z=±2,2x-y+5z=±3所围平行六面体的体积不要用求出焦点坐标这种forceful的方法，用积分学知识

Question

六个平面x+y+z=±1,-x+2y+3z=±2,2x-y+5z=±3所围平行六面体的体积
不要用求出焦点坐标这种forceful的方法，用积分学知识

Answer 1

用换元积分.
考虑R^3→R^3的线性变换F:(x,y,z)→(x+y+z,-x+2y+3z,2x-y+5z).
其Jacobi矩阵为常矩阵
1 1 1
-1 2 3
2 -1 5
行列式|dF| = 21.
由换元积分公式,
体积V = ∫∫∫{|x+y+z| ≤ 1,|-x+2y+3z| ≤ 2,|2x-y+5z| ≤ 3} 1 dxdydz
= ∫∫∫{|F1(x,y,z)| ≤ 1,|F2(x,y,z)| ≤ 2,|F3(x,y,z)| ≤ 3} 1 dxdydz
= ∫∫∫{|u| ≤ 1,|v| ≤ 2,|w| ≤ 3} |dF|^(-1) dudvdw
= |dF|^(-1)·∫∫∫{|u| ≤ 1,|v| ≤ 2,|w| ≤ 3} 1 dudvdw
= |dF|^(-1)·2·4·6
= 16/7.