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证明:对于平行四边形,若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形.
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证明:对于平行四边形,若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等,则此平行四边形为矩形.
▼优质解答
答案和解析
已知:如图所示,P是平行四边形ABCD内任意一点,且PA2+PC2=PB2+PD2;
求证:四边形ABCD是矩形;
证明:过P作EF⊥AD,分别交AD、BC于E、F,
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC;AD=BC
∴EF⊥BC
∴AE+DE=BF+CF…①
∵PA2=AE2+PE2;
PC2=PF2+CF2;
PB2=PF2+BF2;
PD2=PE2+DE2;
∴(AE2+PE2)+(PF2+CF2)=(PF2+BF2)+(PE2+DE2),
∴AE2+CF2=BF2+DE2;
∴AE2-DE2=BF2-CF2;
∴(AE-DE)(AE+DE)=(BF-CF)(BF+CF)
∴(AE-DE)•AD=(BF-CF)•BC
∴AE-DE=BF-CF…②
①+②得:2AE=2BF,
∴AE=BF,
又∵AD∥BC,EF⊥AD,EF⊥BC,
∴四边形ABFE是矩形,
∴∠BAC=∠ABC=90°,
∵平行四边形ABCD是矩形.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754683-3251.jpg)
求证:四边形ABCD是矩形;
证明:过P作EF⊥AD,分别交AD、BC于E、F,
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC;AD=BC
∴EF⊥BC
∴AE+DE=BF+CF…①
∵PA2=AE2+PE2;
PC2=PF2+CF2;
PB2=PF2+BF2;
PD2=PE2+DE2;
∴(AE2+PE2)+(PF2+CF2)=(PF2+BF2)+(PE2+DE2),
∴AE2+CF2=BF2+DE2;
∴AE2-DE2=BF2-CF2;
∴(AE-DE)(AE+DE)=(BF-CF)(BF+CF)
∴(AE-DE)•AD=(BF-CF)•BC
∴AE-DE=BF-CF…②
①+②得:2AE=2BF,
∴AE=BF,
又∵AD∥BC,EF⊥AD,EF⊥BC,
∴四边形ABFE是矩形,
∴∠BAC=∠ABC=90°,
∵平行四边形ABCD是矩形.
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