（2014•崇明县一模）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，cosC=34，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且∠AEF=∠ABC，AE与BD相交于点G．（1）

Question

（2014•崇明县一模）如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，cosC=(3)/(4)，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC交AC边于点D，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），F是AC边上一点，且∠AEF=∠ABC，AE与BD相交于点G．
（1）求证：(AB)/(CE)＝(BG)/(CF)；
（2）设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当△AEF是以AE为腰的等腰三角形时，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠C．
∵∠BAE+∠AEB+∠ABE=180°，
∠FEC+∠AEB+∠AEF=180°，
∠AEF=∠ABE，
∴∠BAE=∠FEC．
∵∠BAG=∠CEF，∠ABG=∠C，
∴△ABG∽△ECF．
∴(AB)/(CE)＝(BG)/(CF)．
（2）作FC的垂直平分线交BC于点M，交FC于点N，如图2，
则有NC=FN=(1)/(2)FC=(y)/(2)．
在Rt△MNC中，cosC=(NC)/(MC)=(3)/(4)，则MC=(2y)/(3)．
∵MN垂直平分FC，
∴MF=MC=(2y)/(3)．
∴∠MFC=∠C．
∴∠FME=∠MFC+∠C=2∠C．
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠FME．
∵∠ABE=∠FME，∠BAE=∠FEM，
∴△ABE∽△EMF．
∴(AB)/(EM)=(BE)/(MF)．
∴AB•MF=BE•EM．
∵BE=x，BC=10，MC=(2y)/(3)，
∴EM=10-x-(2y)/(3)．
又∵AB=8，
∴8×(2y)/(3)=x（10-x-(2y)/(3)）．
∴y=(30x−3x2)/(2x+16)．（0＜x＜10）
（3）①EA=EF，如图3，
∵△ABE∽△EMF（已证），
∴(BE)/(MF)=(AE)/(EF)．
∵EA=EF，
∴BE=MF．
∵BE=x，MF=(2y)/(3)，
∴x=(2y)/(3)．
∴y=(3)/(2)x．
∴(30x−3x2)/(2x+16)=(3)/(2)x．
整理得：x²+4x-5=0．
则有（x+5）（x-1）=0．
解得：x₁=-5（舍），x₂=1．
②AE=AF，
过点F作FH⊥BC，垂足为H，如图4，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE．
∵∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠AFE=2∠C．
∵∠AFE=∠FEC+∠C，
∴∠FEC=∠C．
∴FE=FC．
∵FH⊥EC，
∴EH=CH=(1)/(2)EC．
∵EC=10-x，
∴HC=