已知：在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=60°（1）如图1，求证：∠BAC=30°；（2）分别以AB、AC为边，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结DE，交AB于点F如图2．求证：DF=EF．

Question

已知：在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=60°
（1）如图1，求证：∠BAC=30°；
（2）分别以AB、AC为边，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结DE，交AB于点F如图2．求证：DF=EF．

Answer 1

（1）证明：如图1，取AB中点D，连结CD，则AB=2BD．
∵AB=2BC，
∴BD=BC．
又∵∠ABC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BD，∠BDC=60°，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=60°，
∴∠BAC=30°；

（2）证明：如图2，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，

∠DGB＝∠ACB

∠DBG＝∠ABC

   DB＝AB  

，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，

∠DGF＝∠EAF

  ∠DFG＝∠EFA  

DG＝EA

，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF．