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已知:丨x丨≤1,丨y丨≤1,求证:丨x+y/1+xy丨≤1丨是绝对值的意思
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已知:丨x丨≤1,丨y丨≤1,求证:
丨x+y/1+xy丨≤1 丨 是绝对值的意思
丨x+y/1+xy丨≤1 丨 是绝对值的意思
▼优质解答
答案和解析
由丨x丨≤1,丨y丨≤1
可得1+x≥0,1-x≥0,1+y≥0,1-y≥0
因此有(1+x)(1+y)≥0,(1-x)(1-y)≥0
展开得1+xy+x+y≥0,1+xy-x-y≥0
故有1+xy≥-x-y,1+xy≥x+y
因此1+xy≥|x+y|
又由|1+xy|≥1+xy
所以|1+xy|≥1+xy≥|x+y|
所以丨x+y/1+xy丨≤1
可得1+x≥0,1-x≥0,1+y≥0,1-y≥0
因此有(1+x)(1+y)≥0,(1-x)(1-y)≥0
展开得1+xy+x+y≥0,1+xy-x-y≥0
故有1+xy≥-x-y,1+xy≥x+y
因此1+xy≥|x+y|
又由|1+xy|≥1+xy
所以|1+xy|≥1+xy≥|x+y|
所以丨x+y/1+xy丨≤1
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