A为n阵,|A|=0,Aki≠0,方程AX=0,求X的通解!Aki是指矩阵A的任意代数余子式不等于0（那个ki是右下角的元素，表示k行i列的意思）

Question

A为n阵,|A|=0,Aki≠0,方程AX=0,求X的通解!
Aki是指矩阵A的任意代数余子式不等于0
（那个ki是右下角的元素，表示k行i列的意思 ）

Answer 1

由 AA* = |A|E = 0
所以 A* 的列向量都是AX=0的解
特别是 A* 的第k列 (Ak1,...,Akn)' 是AX=0 的非零解.
又由 |A|=0 ,所以 r(A)=n-1
故 r(A) = n-1.
所以 AX=0 的基础解系含 n - r(A) = n - (n-1) = 1 个解向量.
所以 (Ak1,...,Akn)' 是AX=0 的基础解系.
所以 AX=0的通解为 c (Ak1,...,Akn)',c为任意常数.