下列命题正确的是（）A．若函数f（x）在x=a处连续，则函数f（x）在x=a的邻域内连续B．若函数f（x）在x=a处可导，则函数f（x）在x=a的邻域内可导C．若函数f（x）处处可导，则其导函数处

Question

下列命题正确的是（　　）

A．若函数f（x）在x=a处连续，则函数f（x）在x=a的邻域内连续
B．若函数f（x）在x=a处可导，则函数f（x）在x=a的邻域内可导
C．若函数f（x）处处可导，则其导函数处处连续
D．若函数f（x）在x=a处连续，在其去心邻域内可导，且

lim

x→a

f′（x）存在，则f（x）在x=a处可导

Answer 1

选项D正确：
由微分中值定理得f（x）-f（a）=f′（ξ）（x-a），其中ξ介于a与x之间．
因为

lim

x→a

f′(x)存在，
所以

lim

x→a

(f(x)−f(a))/(x−a)=

lim

x→a

f′(ξ)=

lim

ξ→a

f′(ξ)存在，
故f（x）在x=a处可导．
选项A、B、C均不正确．
A的反例：令f（x）=

0，   x为有理数

x3，  x为无理数

，则f（x）仅在x=0处连续，其他点处均间断．
B的反例：取f（x）同A，则函数f（x）仅在x=0处可导；因为该函数在除x=0外的点处均间断，故也不可导．
C的反例，令f（x）=

x2sin(1)/(x)，  x≠0

0，  x＝0

，则f（x）处处可导，且f′（x）=

2xsin(1)/(x)−cos(1)/(x)，  x≠0

0，  x＝0

，
但是

lim

x→0

f′(x)不存在，所以f′（x）在x=0处不连续．
综上，正确选项为D．
故选：D．