求证1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=n(n+1)(n+2)/6

Question

求证1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1=n(n+1)(n+2)/6

Answer 1

既然你多次让我回答问题,而且都很尊敬地叫我中国天才青少年数学家刘浩男,我帮你解答一下这个问题.其实我早就发现网上关于此题的证明方法不好,都是用的数学归纳法,我觉得相当麻烦的,下面是我的想法：
首先可以将1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+…+n*1改写为1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+4+.n)
又因为1+2+3+……+n=(n^2+n)/2
所以1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+4+.n)
=1/2[(1^2+1)+(2^2+2)+……+(n^2+n)]
=1/2[(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+4+.n)]
=1/2[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]
=n(n+1)(n+2)/6
或者1+2+3+……+n=C 2 n+1(C为组合数,2为上标,n+1为下标),再利用(C m-1 n)+(C m n)=C m n+1化简得：
1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+4+.n)=C 3 n+2=n(n+1)(n+2)/6