已知数列{an}满足an＞0且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，a1+a2+…+an=Sn，（Ⅰ）求证：对一切n∈N*有an+12-an+1=2Sn．（Ⅱ）求数列{an}通项公式．（Ⅲ）求证：1a21+2a22+3a23+…+na2n＜3．

Question

已知数列{a_n}满足a_n＞0且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁+a₂+…+a_n=S_n，
（Ⅰ）求证：对一切n∈N^*有a_n+1²-a_n+1=2S_n．
（Ⅱ）求数列{a_n}通项公式．
（Ⅲ）求证：(1)/(a21)+(√(2))/(a22)+(√(3))/(a23)+…+(√(n))/(a2n)＜3．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足：a_n＞0，且对一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
所以a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
则a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
所以a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）因为a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
所以a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
则a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
从而a_n+1-a_n=1．
又a₁=1，所以数列{a_n}是以首项为a₁=1，公差为1的等差数列
所以a_n=n；
（Ⅲ）证明：∵a_n=n，∴(√(n))/(a2n)＝(√(n))/(n2)＝(1)/(√(n3))＜(2)/(√((n−1)(n+1))×2√(n))＜(2)/(√((n−1)(n+1))×(相关问答若有定义：#defineX(n)n+1#defin求极限lim(l-1/4)(1-1/9)..(1-n-2分之2n与n+3分之3n要求通分已知a+b>0,n属于正数且为偶数,证明b^(n-(sinn/n)的极限,n趋于无穷ln(n+1/n)求前n项和!括号里是n分之n加1求式子中n的值：(n+1)c(n－4）＝7／15＊nC1+2*nC2+3*nC3+…………n*nCn如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15c已知1/10=1/n+1/m,（m、n是不相等的自对任意整数n>2,求证：[n(n+1)/4n-2]已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1/2,首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)