(x+1)^n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+a3(x-1)^3+.+an(x-1)^n,(n>=2n属于N^+).设bn=a2/2^(n-3).Tn=b2+b3+b4+...+bn.4,.用数学归纳法证明:.当n>=2,Tn=n(n+1)(n-1)/3

Question

(x+1)^n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+a3(x-1)^3+.+an(x-1)^n ,(n>=2n属于N^+).设bn=a2/2^(n-3).Tn=b2+b3+b4+...+bn.4,.用数学归纳法证明:.当 n>=2,Tn=n(n+1)(n-1)/3

Answer 1

(x+1)^n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+a3(x-1)^3+.+an(x-1)^n
可化为：
(x-1+2)^n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)^2+a3(x-1)^3+.+an(x-1)^n
所以a2=2^(n-2)*n*(n-1)/2
所以bn=n*（n-1）
可得b2=2*1=2
T2=2*3*1/3=2
b3=6
T3=3*4*2/3=8=2+6=b2+b3
b4=3*4=12
T4=4*5*3/3=20=2+6+12=b2+b3+b4
不妨设Tn=n(n+1)(n-1)/3
那么T(n+1)=Tn+b(n+1）=n(n+1)(n-1)/3+n*(n+1)=n(n+1)(n-1+3)/3=n(n+1)(n+2)/3
=(n+1)*(n+1+1)*(n+1-1)/3
将n+1看成一个整体
得证.