设正整数a,m,n满足√（a^2-4√2）=√m-√n,则这样的m,n的取值有几组感激不尽

Question

设正整数a,m,n满足√（a^2-4√2）=√m-√n,则这样的m,n 的取值有几组
感激不尽

Answer 1

√（a²-4√2）=√m-√n
a²-4√2=(√m-√n)²
a²-4√2=m+n-2√(mn)
a,m,n均为整数,等式左边包含无理数4√2,若√(mn)为有理数,则等式右边为有理数,等式不成立,因此只有2√(mn)为无理数.
[a²-(m+n)]-2[√8 -√(mn)]=0
a²-(m+n)=0
√8-√(mn)=0
a²=m+n
mn=8
8=1×8=2×4
m=1 n=8或m=8 n=1时,a²=m+n=1+8=9 a=3
m=2 n=4或m=4 n=2时,a²=m+n=2+4=6 a=√6(不是整数,舍去)
综上,得m,n的取值共有两组：m=1 n=8；m=8 n=1.