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复数z,w满足zw+2iz-2iw+1=0,|z|=3,证明:|w-4i|是常数并求出这个常数.

题目详情
复数z,w满足zw+2iz-2iw+1=0,|z|=
3
,证明:|w-4i|是常数并求出这个常数.
▼优质解答
答案和解析
由已知得z=
2iw-1
w+2i
.又∵|z|=
3

∴|
2iw-1
w+2i
|=
3

∴|2iw-1|2=3|w+2i|2
∴(2iw-1)(-2i
.
w
-1)=3(z2+2i)(
.
w
-2i).
整理得:w
.
w
+4iw-4i
.
w
-11=0.
即(w-4i)(
.
w
+4i)=27.
∴|w-4i|2=27,
即|w-4i|=3
3

∴:|w-4i|是常数并,这个常数存在常数k=3
3