设f(x)是一次函数,若f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比数列,求f(x)的解析式?求f(1)+f(2)+……+f(n)的值?

Question

设f(x)是一次函数,若f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比数列,求f(x)的解析式?求f(1)+f(2)+……+f(n)的值?

Answer 1

解析：
由题意可得：f(x)=ax+b,其中a≠0,那么：
f(8)=8a+b=15,f(2)=2a+b,f(5)=5a+b,f(4)=4a+b
又f(2),f(5),f(4)成等比数列,所以：
(5a+b)²=(2a+b)(4a+b)
25a²+10ab+b²=8a²+6ab+b²
17a²+4ab=0
由于a≠0,所以：17a+4b=0
又8a+b=15,所以联立上述两个方程易解得：
a=4,b=-17
那么：f(x)=4x-17
所以数列{f(n)}表示以-13为首项,公差为4的等差数列
由等差数列求和公式易得：
Sn=f(1)+f(2)+……+f(n)=n*13+n(n-1)/2 *(4)=-13n+2n(n-1)=2n²-15n