设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x2-4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数．（Ⅰ）写出f（x）在[-2，0]上的表达式；（Ⅱ）问k为何值时，f（x

Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在区间[0，2]上，f（x）=x（x²-4），若对任意的x都满足f（x）=kf（x+2），其中k为常数．
（Ⅰ）写出f（x）在[-2，0]上的表达式； 
（Ⅱ）问k为何值时，f（x）在x=0处可导．

Answer 1

（Ⅰ）：
当x∈[-2，0]时，x+2∈[0，2]，
而 f（x）=kf（x+2），且在区间[0，2]上，有：f（x）=x（x²-4），
∴在x+2∈[0，2]上，f（x+2）=（x+2）[（x+2）²-4]，
∴f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）²-4]=kx（x+2）（x+4），x∈[-2，0]．
（Ⅱ）：
由（I）知x∈[-2，0]时，f（x）=kx（x+2）（x+4）
∴f′−(0)＝

lim

x→0−

(f(x)−f(0))/(x−0)=

lim

x→0−

(kx(x+2)(x+4))/(x)＝8k
又区间[0，2]上，f（x）=x（x²-4）
∴f′+(0)＝

lim

x→0+

(f(x)−f(0))/(x−0)=

lim

x→0+

(x(x2−4))/(x)＝−4
要使f（x）在x=0处可导，
必有：f′_-（0）=f′₊（0），
即：8k=-4
∴k＝−(1)/(2)，
从而当k＝−(1)/(2)时，f（x）在x=0处可导．