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一次函数f(x)满足f[f(x)]=1+2x,求f(x).
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一次函数f(x)满足f[f(x)]=1+2x,求f(x).
▼优质解答
答案和解析
设f(x)=kx+b
则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k^2x+(kb+b)=1+2x
对应项系数相等
所以k^2=2,kb+b=1
k^2=2,k=±√2
若k=√2,b=1/(k+1)=1/(√2+1)=(√2-1)/(√2-1)(√2+1)=(√2-1)/(2-1)=√2-1
若k=-√2,b=1/(k+1)=1/(-√2+1)=(-√2-1)/(-√2-1)(-√2+1)=(-√2-1)/(2-1)=-√2-1
所以f(x)=√2x+√2-1或f(x)=-√2x-√2-1
则f[f(x)]=k(kx+b)+b=k^2x+(kb+b)=1+2x
对应项系数相等
所以k^2=2,kb+b=1
k^2=2,k=±√2
若k=√2,b=1/(k+1)=1/(√2+1)=(√2-1)/(√2-1)(√2+1)=(√2-1)/(2-1)=√2-1
若k=-√2,b=1/(k+1)=1/(-√2+1)=(-√2-1)/(-√2-1)(-√2+1)=(-√2-1)/(2-1)=-√2-1
所以f(x)=√2x+√2-1或f(x)=-√2x-√2-1
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