记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈S，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f

Question

记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈S，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f₂（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log₂（1-2^x），判断f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）=(ax)/(x+b)∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

Answer 1

（1）∵f(f(x))＝log2(1−2log2(1−2x))＝log2(1−1+2x)＝x
∴f（x）=log₂（1-2^x）∈M
（2）∵f(x)＝(ax)/(x+b)∈M，
∴f₂（x）=f（f（x））=x对一切定义域中x恒成立．(a•(ax)/(x+b))/((ax)/(x+b)+b)＝x，
解得：（a+b）x²-（a²-b²）x=0恒成立，故a+b=0
由f（x）＜1，得到(ax)/(x−a)−1＜0，((a−1)x+a)/(x−a)＜0，
由a＜0，(x−(a)/(1−a))/(x−a)＞0而0＞(a)/(1−a)＞a，
故x的范围为：x＞(a)/(1−a)或  x＜a     （13分）