（2013•临汾模拟）若f（x）满足x2f′（x）-2xf（x）=x3ex，f（2）=-2e2．则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，也

Question

（2013•临汾模拟）若f（x）满足x²f′（x）-2xf（x）=x³e^x，f（2）=-2e²．则x＞0时，f（x）（　　）

A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值

Answer 1

∵x²f′（x）-2xf（x）=x³e^x，
设F（x）=(f(x))/(x2)，
∴F′（x）=(x2f′(x)−2xf(x))/(x4)=(x3ex)/(x4)=(ex)/(x)；
∴x²f′（x）=x³e^x+2xf（x）=x³e^x+2x³F（x），
∴f′（x）=xe^x+2xF（x）；
∴f′（2）=2e²+2×2F（2）=2e²+4×（-(1)/(2)e²）=0，
∴x=2是函数f（x）的一个极值点；
设g（x）=xe^x+2xF（x），
∴g′（x）=e^x+xe^x+2F（x）+2xF′（x）
=e^x+xe^x+2F（x）+2x•(ex)/(x)=3e^x+xe^x+2F（x），
∴g′（2）=3e²+2e²+2×（-(1)/(2)）e²=4e²＞0，
x=2是函数f（x）的极小值点；
∴x＞0时，f（x）有极小值，无极大值．
故选：B．