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已知增函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的范围．
题目详情
已知增函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的范围．
▼优质解答
答案和解析
由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，
2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
所以f（x）+f（x-3）≤2等价于
f（x）+f（x-3）≤f（4），
因为f（xy）=f（x）+f（y），
所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，
所以f[x（x-3）]≤f（4）．
又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
所以x＞0，x-3＞0，且x（x-3）≤4，
解得：3＜x≤4．
故满足的实数x的取值范围是（3，4]．
2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
所以f（x）+f（x-3）≤2等价于
f（x）+f（x-3）≤f（4），
因为f（xy）=f（x）+f（y），
所以f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，
所以f[x（x-3）]≤f（4）．
又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
所以x＞0，x-3＞0，且x（x-3）≤4，
解得：3＜x≤4．
故满足的实数x的取值范围是（3，4]．
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