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已知增函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),求满足f(x)+f(x-3)≤2的x的范围.
题目详情
已知增函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),求满足f(x)+f(x-3)≤2的x的范围.
▼优质解答
答案和解析
由f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y)可知,
2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),
所以f(x)+f(x-3)≤2等价于
f(x)+f(x-3)≤f(4),
因为f(xy)=f(x)+f(y),
所以f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)],
所以f[x(x-3)]≤f(4).
又因为y=f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
所以x>0,x-3>0,且x(x-3)≤4,
解得:3<x≤4.
故满足的实数x的取值范围是(3,4].
2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),
所以f(x)+f(x-3)≤2等价于
f(x)+f(x-3)≤f(4),
因为f(xy)=f(x)+f(y),
所以f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)],
所以f[x(x-3)]≤f(4).
又因为y=f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.
所以x>0,x-3>0,且x(x-3)≤4,
解得:3<x≤4.
故满足的实数x的取值范围是(3,4].
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