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如图：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE=a，CF=b，满足a−12+|b-5|=m−2+2−m，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2=EF2．（3）在（1

题目详情

如图：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．
（1）若设BE=a，CF=b，满足

a−12

+|b-5|=

m−2

2−m

，求BE及CF的长．
（2）求证：BE²+CF²=EF²．
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．

▼优质解答

答案和解析

（1）由题意得

m−2≥0

2−m≥0

，
解得m=2，
则

a−12

+|b-5|=0，
所以a-12=0，b-5=0，
a=12，b=5，
即BE=12，CF=5；

（2）证明：延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，
在△BED和△CPD中，

ED＝PD

∠EDB＝∠PDC

BD＝CD

，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CDP，
在△EDF和△PDF中，

DE＝DP

∠EDF＝∠PDE＝90°

DF＝DF

，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴BE²+CF²=EF²；

（3）连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，