已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵f（x）=e^x+e^-x，
∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，
∵x＞0，
∴e^x+e^-x-1＞0，
即m≤(e−x−1)/(ex+e−x−1)在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x，（t＞1），则m≤(1−t)/(t2−t+1)在（1，+∞）上恒成立，
∵(1−t)/(t2−t+1)=-(t−1)/((t−1)2+(t−1)+1)=-(1)/(t−1+(1)/(t−1)+1)≥-(1)/(3)，当且仅当t=2时等号成立，
∴m≤-(1)/(3)．