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(2013•沈阳模拟)在▱ABCD中,∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC.(1)如图1,若∠ADC=90°,G是EF的中点,连接AG、CG.①求证:BE=BF.②请判断△AGC的形状,并说明理
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(2013•沈阳模拟)在▱ABCD中,∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC.
(1)如图1,若∠ADC=90°,G是EF的中点,连接AG、CG.
①求证:BE=BF.
②请判断△AGC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠ADC=60°,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那么△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)
(1)如图1,若∠ADC=90°,G是EF的中点,连接AG、CG.
①求证:BE=BF.
②请判断△AGC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠ADC=60°,将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG,连接AG、CG.那么△AGC又是怎样的形状.(直接写出结论不必证明)
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC,
∴∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,
∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠FDC,
∴∠F=∠BEF,
∴BF=BE;
②△AGC是等腰直角三角形.
理由如下:连接BG,
由①知,BF=BE,∠FBC=90°,
∴∠F=∠BEF=45°,
∵G是EF的中点,
∴BG=FG,∠F=∠CBG=45°,
∵∠FAD=90°,
∴AF=AD,
又∵AD=BC,
∴AF=BC,
在△AFG和△CBG中,
,
∴△AFG≌△CBG(SAS),
∴AG=CG,
∴∠FAG=∠BCG,
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°,
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°,
即∠GAC+∠ACG=90°,
∴∠AGC=90°,
∴△AGC是等腰直角三角形;
(2)连接BG,∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG,
∴△BFG是等边三角形,
∴FG=BG,∠FBG=60°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°-∠FBG-∠ABC=180°-60°-60°=60°,
∴∠AFG=∠CBG,
∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠FDC,
∵AB∥DC,
∴∠AFD=∠FDC,
∴∠AFD=∠ADF,
∴AF=AD,
在△AFG和△CBG中,
,
∴△AFG≌△CBG(SAS),
∴AG=CG,∠FAG=∠BCG,
在△ABC中,∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°-60°=120°,
∴∠AGC=180°-(∠GAC+∠ACG)=180°-120°=60°,
∴△AGC是等边三角形.
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥DC,AD∥BC,
∴∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,
∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠FDC,
∴∠F=∠BEF,
∴BF=BE;
②△AGC是等腰直角三角形.
理由如下:连接BG,
由①知,BF=BE,∠FBC=90°,
∴∠F=∠BEF=45°,
∵G是EF的中点,
∴BG=FG,∠F=∠CBG=45°,
∵∠FAD=90°,
∴AF=AD,
又∵AD=BC,
∴AF=BC,
在△AFG和△CBG中,
|
∴△AFG≌△CBG(SAS),
∴AG=CG,
∴∠FAG=∠BCG,
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°,
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°,
即∠GAC+∠ACG=90°,
∴∠AGC=90°,
∴△AGC是等腰直角三角形;
(2)连接BG,∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG,
∴△BFG是等边三角形,
∴FG=BG,∠FBG=60°,
又∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°-∠FBG-∠ABC=180°-60°-60°=60°,
∴∠AFG=∠CBG,
∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠FDC,
∵AB∥DC,
∴∠AFD=∠FDC,
∴∠AFD=∠ADF,
∴AF=AD,
在△AFG和△CBG中,
|
∴△AFG≌△CBG(SAS),
∴AG=CG,∠FAG=∠BCG,
在△ABC中,∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°-60°=120°,
∴∠AGC=180°-(∠GAC+∠ACG)=180°-120°=60°,
∴△AGC是等边三角形.
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