如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长．

Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=√(2)，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE

AD=BD

∠ADC=∠BDF=90°

，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（2） ∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=√(2)，
在Rt△CDF中，CF=√(DF2+CD2)=√((√(2))2+(√(2))2)=2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+√(2)．