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如图,RA⊥AB,QB⊥AB,P是AB上的一点,RP=PQ=a,RA=h,QB=k,∠RPA=75°,∠QPB=45°,求AB的长度.
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如图,RA⊥AB,QB⊥AB,P是AB上的一点,RP=PQ=a,RA=h,QB=k,∠RPA=75°,∠QPB=45°,求AB的长度.
▼优质解答
答案和解析
过Q作QC⊥AR交于点C,
∵∠A=∠B=90°,∠RPA=75°,∠QPB=45°,
∴∠RPQ=60°,QB=PB=k,
又∵RP=PQ=a,
∴△PQR是等边三角形,即RP=PQ=RQ=a;
设AB长为x,在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中,
RQ2=RC2+CQ2,RP2=RA2+AP2,QP2=QB2+PB2,
即a2=(h-k)2+x2,①
a2=h2+(x-k)2,②
由①②可解得2kx=2kh,
即x=h.
∴AB=h.
∵∠A=∠B=90°,∠RPA=75°,∠QPB=45°,
∴∠RPQ=60°,QB=PB=k,
又∵RP=PQ=a,
∴△PQR是等边三角形,即RP=PQ=RQ=a;
设AB长为x,在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中,
RQ2=RC2+CQ2,RP2=RA2+AP2,QP2=QB2+PB2,
即a2=(h-k)2+x2,①
a2=h2+(x-k)2,②
由①②可解得2kx=2kh,
即x=h.
∴AB=h.
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