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如图,D为等边△ABC的BC边上一点,已知BD=1,CD=2,CH⊥AD于点H,连接BH.试证:∠BHD=60°.
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如图,D为等边△ABC的BC边上一点,已知BD=1,CD=2,CH⊥AD于点H,连接BH.试证:∠BHD=60°.
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▼优质解答
答案和解析
作AE⊥DC于E,
∵CH⊥AD,
∴∠DHC=∠AED=90°,
∵∠ADE=∠CDH,
∴△DAE∽△DCH,
∵等边△ABC中,BD=1,CD=2,
∴BE=
BC=
×(2+1)=1.5,
∴DE=BE-BD=0.5,
∵
=
,
∴DH×DA=DE×DC=0.5×2=1=BD2,
∴
=
,
∵∠BDH=∠ADB,
∴△BDH∽△ADB,
∴∠BHD=∠ABC=60°.
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∵CH⊥AD,
∴∠DHC=∠AED=90°,
∵∠ADE=∠CDH,
∴△DAE∽△DCH,
∵等边△ABC中,BD=1,CD=2,
∴BE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴DE=BE-BD=0.5,
∵
DH |
DE |
DC |
DA |
∴DH×DA=DE×DC=0.5×2=1=BD2,
∴
BD |
DA |
DH |
BD |
∵∠BDH=∠ADB,
∴△BDH∽△ADB,
∴∠BHD=∠ABC=60°.
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