当k为何值时,反常积分∫（2,+∞）dx/x(lnx)^k取得最小值

Question

当k为何值时,反常积分∫（2,+∞）dx/x(lnx)^k取得最小值

Answer 1

原式=∫(2,+∞)dlnx/(lnx)^k
=(lnx)^(1-k)/(1-k)|(2,+∞),k>1否则积分不收敛
=-(ln2)^(1-k)/(1-k)
对1-k求导
=[(1-k)*ln(ln2)-1]*(ln2)^(1-k)/(1-k)^2
当(1-k)*ln(ln2)-1=0,k=1-1/ln(ln2),反常积分取得最小值
结果已用电脑进行验算,正确